Введение в теорию обозначений Big-O

В этой статье мы дадимintroduction to the mathematics of big-O notation, as well as show an example of a big-O proof.

Definition:f(x) = O(g(x)) означает, что существуют две положительные константы,x₁ иc, такие, что0 ≤ f(x) ≤ cg(x) для всехx ≥ x₁.

Говоряf(x) = O(g(x)), мы говорим“f of x is big-O g of x“.

Не позволяйте знаку равенства вводить вас в заблуждение:f(x) - это функция, аO(g(x)) - это набор. У вас не может быть функции, равной набору. Это все равно, что сказать, что Земля равна Солнечной системе. Это больше похоже на Землюbelongs в (наборе планет, составляющих) Солнечную систему. Аналогичноf(x) belongs in a set of functions called O(g(x)) (big-Og ofx).

Теперь у нас есть две функции -f(x) иg(x). Функцииgrow at different speeds. Например, квадратичная функция будет расти быстрее, чем линейная функция. Ноsometimes, it takes some time for the quadratic to catch up!

Например, если у нас естьa(x) = 2x² + 2x + 1 иb(x) = 10x, у нас будутa(1) = 5 иb(1) = 10. Но скажем, теперь мы выбираемx = 15. Теперь у нас естьa(15) = 450 + 30 + 1 = 481 иb(x) = 150. Более того, этоfor any value greater than x = 15, say x = 20, a(x) will be bigger than b(x). (сейчас хорошее время, чтобы вернуться к формальному определению; это частьx ≥ x₁).

Для случая формального понимания big-O важно, чтоwe don’t particularly care at which point a(x) began outgrowing b(x). Просто так и было, и с этого момента он продолжает быть больше, чемb(x).

Выше мы видели, какa(x) потребовалось время, чтобы догнатьb(x). . В конце концов, это произошло, но на это потребовалось время.

Причина, по которой он в конечном итоге растет быстрее, заключается в2x² term. Или, точнее, частьx². This tells us that a(x) = O(x²). Использование символов исходного определения:f(x) = a(x) иg(x) = x².

Для большого O нас не интересуют другие члены вa(x) или константа2 в члене2x².

Снова посмотрев на наше определение из раздела 2, здесь появляется константаc. We can scale g(x) by any positive constant - до тех пор, покаf(x) остается меньше масштабированной версии (после определенной точки,x ≥ x₁).

Если мы возьмемd(x) = 3x³ + 2x + 10,, нам нужно будет найти значенияc иx₁, такие, чтоd(x) ≤ cx³ для всех значений больше, чемx_1.. Это именно то, что мы сделать в разделе 4.

Чтобы доказатьf(x) = O(g(x)), нам нужно найти две положительные константы,c иx₁, такие, что0 ≤ f(x) ≤ cg(x) для всехx ≥ x₁. We need to find values for c and x₁ such that the inequality holds.с

Это означает, что после определенного момента масштабированная версияg(x) всегда будет больше, чемf(x).

Пусть d(x) = 3x³ + 2x + 10.

Предположим, мы хотим доказать, что d(x) = O(x³). Это означает, что нам нужно найти два положительных целых числа,c иx₁, такие, что0 ≤ d(x) ≤ cx³  для всехx ≥ x₁.

Что ж, мы знаем, что d(x) = 3x³ + 2x + 10 ≤ 3x³ + 2x³ + 10x³ = 15x³

so,

d(x) ≤ 15x³.

Итак, если мы установимx₁ = 1 andc = 15, t, то это будет для любогоx ≥ x₁, 0 ≤ d(x) ≤ cx³. Итак,d(x) = O(x³).

Мы могли бы найти другие значения дляx₁ иc, которые удовлетворяют вышеуказанному условию. Важно только то, чтоthere exist values of x₁ and c which satisfy the condition.

В этой статье мы сосредоточились наintroduction to the theory of big-O notation.

Более практичный взгляд на эту тему может бытьfound here.